Equazioni ellittiche quasi lineari del second’ordine.  Abbiamo studiato una classe di equazioni ellittiche quasi lineari del second’ordine sia su domini limitati con opportune condizioni al bordo sia sull’intero spazio euclideo.  Abbiamo ottenuto risultati su esistenza, molteplicità e sulle proprietà qualitative delle soluzioni di tali problemi. 

Equazioni ellittiche semi lineari di ordine superiore al secondo. Abbiamo studiato una classe di equazioni ellittiche del quart’ordine con l’operatore biarmonico.  Abbiamo focalizzato la nostra attenzione su alcune questioni quali la simmetria delle soluzioni e la loro regolarità.  Abbiamo inoltre considerato alcune particolari condizioni al contorno non standard e studiato problemi  di ottimizzazione di forma ad esse legati.

Formule di monotonia e loro applicazioni. Ci siamo occupati di formule di monotonia di tipo Almgren e delle loro applicazioni nello studio di alcune proprietà qualitative delle soluzioni di una classe di equazioni ellittiche semilineari con potenziali singolari.  Più precisamente di tali soluzioni abbiamo studiato il comportamento asintotico in prossimità delle singolarità dei potenziali  ed i principi di continuazione unica.

Equazioni delle onde del quart’ordine  e applicazioni allo studio della dinamica dei ponti sospesi. Una particolare classe di equazioni delle onde non lineari del quart’ordine trova applicazione nello studio del comportamento dinamico di strutture quali i ponti sospesi. L’obiettivo di questo studio è quello di fornire indicazioni utili allo studio delle proprietà di stabilità di particolari modi di oscillazione. Si congettura che alcuni modi di oscillazione, osservati prima di celebri crolli, possano essere innescati da fenomeni di risonanza interna oltre che dall’azione di forze esterne.

Problemi ellittici semilineari del second’ordine su varietà Riemanniane con polo.  Particolare interesse ha destato negli ultimi anni lo studio di equazioni ellittiche con l’operatore di Laplace-Beltrami su varietà Riemanniane quale ad esempio lo spazio iperbolico n-dimensionale. Abbiamo studiato l’esistenza, le proprietà qualitative, la simmetria per una classe di equazioni ellittiche semilineari su varietà Riemanniane con polo ed aventi curvatura negativa quando la distanza dal polo tende all’infinito.

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Second order quasilinear elliptic equations.

We studied a class of quasilinear second order elliptic equations both on bounded domains with suitable boundary conditions and on the entire space. We obtained results about existence, multiplicity and qualitative properties for solutions of those problems.

Higher order semilinear elliptic equations.

We studied a class of fourth order elliptic equations with the biharmonic operator.  We focused our attention on some questions like the symmetry of solutions and their regularity. Moreover, we also considered particular non- standard boundary conditions and studied optimal shape problems related to them.

Monotonicity formulas and applications .

We studied Almgren type formulas and their applications to the study of some qualitative properties for solutions of a class of semilinear elliptic equations with singular potentials.  More precisely, of such solutions we studied the asymptotic behavior near the singularity of the potentials and unique continuation principles.

Fourth order wave equations and applications to the study of the dynamics of suspension bridges.

A special class of nonlinear fourth order wave equations finds an application to the study of the dynamic behavior of structures like suspension bridges. The main purpose of this study is to provide useful information on the stability properties of particular oscillation modes.  We conjecture that some oscillation modes, observed in celebrated failures of bridges, could be activated by internal resonance phenomena besides the action of external forces.

Second order semilinear elliptic problems on Riemannian manifolds with a pole.

Particular interest arose in the last years from the study of elliptic equations with the Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds such as the n-dimensional hyperbolic space. We studied existence, qualitative properties and symmetry for a class of semilinear elliptic equations on Riemannian manifolds with a pole and having negative curvature when the distance from the pole tends to infinity